연속 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 균등 공간 사이의 연속 함수
4. 예
5. 역사
6. 관련 개념
참조

1. 개요

연속 함수는 위상 공간 X와 Y 사이의 함수 f: X → Y에 대해, X의 모든 점에서 연속인 함수를 의미한다. 이는 임의의 열린 집합 U⊆ Y에 대해, 원상 f⁻¹(U)⊆ X가 열린 집합이 되는 것과 동치이며, 임의의 닫힌 집합 C⊆ Y에 대해 원상 f⁻¹(C)⊆ X가 닫힌 집합이 되는 것과도 같다. 실수 함수에서 연속성은 함수의 극한을 사용하여 정의되며, 그래프가 끊어지지 않는 단일 곡선으로 나타낼 수 있다. 연속 함수의 개념은 위상 공간, 거리 공간, 균등 공간 등 다양한 수학적 구조에서 정의되며, 함수의 합성, 역함수, 콤팩트 공간, 연결 공간 등과 관련된 여러 가지 성질을 갖는다.

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연속 함수
개요
실수 값의 함수 그래프가 연속이라는 것은 그래프에 갑작스러운 중단이나 점프가 없다는 것을 의미한다.
정의	함수의 그래프에 중단이나 갑작스러운 점프가 없는 속성
정의
직관적 정의	함수가 연속이라는 것은 그 그래프를 펜을 종이에서 떼지 않고 그릴 수 있다는 것을 의미한다.
엄밀한 정의 (ε-δ 정의)	함수 f가 c에서 연속이라는 것은 임의의 양수 ε에 대해, 다른 양수 δ가 존재하여 \|x - c\| < δ일 때마다 \|f(x) - f(c)\| < ε이 성립한다는 것을 의미한다.
하이네 정의	함수 f가 c에서 연속이라는 것은 c로 수렴하는 모든 수열 (xn)에 대해 f(xn)이 f(c)로 수렴한다는 것을 의미한다.
균등 연속	함수 f가 정의역 전체에서 "균등 연속"이라는 것은 임의의 양수 ε에 대해, 하나의 양수 δ가 존재하여 정의역 내의 모든 x, y에 대해 \|x - y\| < δ일 때마다 \|f(x) - f(y)\| < ε이 성립한다는 것을 의미한다.
연속 함수의 성질	연속 함수의 합, 차, 곱은 연속 함수이다. 연속 함수의 몫은 분모가 0이 아닌 점에서 연속 함수이다. 연속 함수의 합성 함수는 연속 함수이다. 중간값 정리: 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f가 f(a)와 f(b) 사이의 모든 값을 적어도 한 번은 취한다. 최대-최소 정리: 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.
예시
연속 함수	다항 함수 지수 함수 삼각 함수 (정의역 내에서) 절댓값 함수
불연속 함수	계단 함수 유리 함수 (분모가 0이 되는 점에서) 부호 함수
관련 개념
미분 가능성	미분 가능한 함수는 연속 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다. (예: 절댓값 함수)
균등 연속성	균등 연속 함수는 연속 함수이다.
절대 연속성	절대 연속 함수는 균등 연속 함수이다.
반연속성	상반연속 함수와 하반연속 함수가 있다.
위상수학적 정의
정의	위상 공간 X에서 위상 공간 Y로 가는 함수 f가 연속이라는 것은 Y의 모든 열린 집합의 원상(inverse image)이 X에서 열린 집합이라는 것을 의미한다.
성질	연속 함수의 합성은 연속 함수이다. 연속 함수에 의한 연결 공간의 이미지는 연결 공간이다. 연속 함수에 의한 콤팩트 공간의 이미지는 콤팩트 공간이다.
관련 항목
관련 항목	미분 가능성 균등 연속 절대 연속 함수의 극한 연속성 매끄러움 디리클레 함수

2. 정의

실함수는 정의역과 치역이 모두 실수 직선 위에 있는 함수로, 좌표 평면 위에 그래프를 그릴 수 있다. 함수 가 를 포함하는 구간에서 정의될 때, 에서의 연속성은 '왼쪽에서 로 접근할 때의 극한값과 오른쪽에서 로 접근할 때의 극한값이 일치하고, 와 같다'는 것이며, 함수의 극한을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

이는 ε-δ 논법에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.

: 임의의 양수 에 대해, 적절한 양의 실수 를 선택하여, 의 정의역에 포함되고 를 만족하는 모든 에 대해 가 성립한다.

즉, 아무리 작은 양의 실수 가 주어져도 "와의 오차가 미만인 를 가져오면, 와의 오차가 미만임이 보장되는 를 얻을 수 있다"는 조건을 만족하는 양의 실수 가 존재한다는 의미이다. 의 조건은 없어도 된다. 따라서, 의 연속성은 "임의의 양의 실수 에 대해, 를 만족하는 모든 에 대해 가 성립하도록 하는 양의 실수 가 존재한다"라고도 할 수 있다.

함수 가 정의역의 모든 점에서 연속일 때, 이를 연속 함수라고 한다.

실수 함수의 연속성은 일반적으로 극한을 사용하여 정의된다. 변수 를 갖는 함수 는 가 로 갈 때 의 극한이 와 같으면 실수 에서 ''연속''이라고 한다.

함수의 (전역) 연속성에 대한 몇 가지 다른 정의가 있으며, 이는 정의역의 특성에 따라 달라진다.

함수가 열린 구간에서 연속이라는 것은 구간이 함수의 정의역에 포함되고, 함수가 모든 구간 점에서 연속임을 의미한다. 전체 실수선에서 연속인 함수는 단순히 연속 함수라고 불리기도 하며, ''모든 곳에서 연속''이라고도 한다. 예를 들어, 모든 다항 함수는 모든 곳에서 연속이다.

함수가 반열린 구간 또는 닫힌 구간에서 연속이라는 것은 구간이 함수의 정의역에 포함되고, 함수가 구간의 모든 내점(interior point)에서 연속이며, 구간에 속하는 각 끝점에서의 함수 값은 변수가 구간 내부에서 끝점으로 접근할 때의 함수 값의 극한과 같다는 것을 의미한다. 예를 들어, 함수 는 전체 정의역인 닫힌 구간 에서 연속이다.

자주 접하는 많은 함수는 일부 고립점을 제외한 모든 실수로 구성된 정의역을 갖는 부분 함수이다. 예로는 역수 함수 와 탄젠트 함수 가 있다. 이러한 함수가 정의역에서 연속일 때, 일부 맥락에서는 모든 곳에서 연속이 아니지만 연속이라고 한다. 다른 맥락, 특히 예외적인 점 근처의 동작에 관심이 있을 때는 불연속이라고 한다.

부분 함수는 점이 정의역의 위상적 폐포에 속하고, 해당 점이 함수의 정의역에 속하지 않거나 함수가 해당 점에서 연속이 아닌 경우 해당 점에서 ''불연속''이다. 예를 들어, 함수 와 는 에서 불연속이며, 에서 정의하기 위해 어떤 값을 선택하더라도 불연속으로 남아 있다. 함수가 불연속인 점을 ''불연속점''이라고 한다.

수학적 표기법을 사용하여 위에서 언급한 세 가지 의미에서 연속 함수를 정의할 수 있다.

을 실수 집합 의 부분 집합 에서 정의된 함수라고 하자.

이 부분 집합 는 의 정의역이다. 가능한 몇 가지 선택 사항은 다음과 같다.

: 즉, 는 전체 실수 집합이다. 또는, 실수 및 의 경우
: 는 닫힌 구간이다. 또는
: 는 열린 구간이다.

정의역 가 열린 구간으로 정의된 경우, 와 는 에 속하지 않으며, 에서의 연속성에 대해서는 와 의 값은 중요하지 않다.

함수 가 정의역의 어떤 점 에서 ''연속''이라는 것은, 의 극한이 ''x''가 ''f''의 정의역을 통해 ''c''에 접근할 때 존재하고 와 같다는 것을 의미한다.^[9] 수학적 표기법으로는 다음과 같이 나타낸다.

:

\lim_{x \to c}{f(x)} = f(c).

이는 세 가지 조건을 의미한다. 첫째, 는 에서 정의되어야 한다. 둘째, 해당 방정식의 극한이 존재해야 한다. 셋째, 이 극한의 값은 와 같아야 한다.

오귀스탱 루이 코시는 독립 변수의 무한소 변화가 종속 변수의 무한소 변화에 해당한다는 직관적인 방식으로 함수의 연속성을 정의했다. 비표준 해석학은 이를 수학적으로 엄밀하게 만드는 방법이다. 실수선은 무한대와 무한소의 수를 추가하여 초실수를 형성함으로써 확장된다. 비표준 해석학에서 연속성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

즉, 독립 변수의 무한소 증가는 항상 종속 변수의 무한소 변화를 생성하며, 이는 오귀스탱 루이 코시의 연속성 정의에 현대적인 표현을 부여한다.

연속성은 진동으로도 정의될 수 있다. 함수 ''f''가 점 에서 연속일 필요충분조건은 해당 점에서의 진동이 0인 것이다.^[10] 이 정의는 불연속성을 정량화한다는 장점이 있다. 진동은 함수가 어떤 점에서 얼마나 불연속적인지를 나타낸다.

이 정의는 기술 집합론에서 불연속점과 연속점의 집합을 연구하는 데 유용하다. 연속점은 진동이 보다 작은 집합들의 교집합이므로 (G-델타 집합) 르베그 적분 가능 조건의 한 방향을 빠르게 증명할 수 있다.^[11]

진동은 간단한 재배열과 극한 (상한, 하한)을 사용하여 진동을 정의함으로써 정의와 동등하다. 만약 (어떤 점에서) 주어진 에 대해 정의를 만족하는 가 없다면, 진동은 최소 이고, 반대로 모든 에 대해 원하는 가 있다면, 진동은 0이다. 진동 정의는 위상 공간에서 거리 공간으로의 사상으로 자연스럽게 일반화될 수 있다.

함수 는 다음 조건을 만족하면 제어 함수라고 한다.

''C''는 단조 증가한다.

함수 가 에서 ''C''-연속이라는 것은 다음과 같은 근방 이 존재한다는 의미이다.

함수가 에서 연속이라는 것은 어떤 제어 함수 ''C''에 대해 ''C''-연속이라는 의미이다.

이 접근 방식은 허용 가능한 제어 함수의 집합을 제한함으로써 자연스럽게 연속성의 개념을 개선한다. 주어진 제어 함수 집합 에 대해 함수가 이라는 것은 어떤 에 대해 이라는 의미이다. 예를 들어, 립시츠 연속과 지수 의 홀더 연속 함수는 다음과 같은 제어 함수 집합으로 정의된다.

그리고

연속 함수를 조합하여 만들 수 있는 다양한 함수는 다시 연속 함수가 된다.

함수 와 가 모두 에서 연속일 때, 다음 함수도 에서 연속이다. 이는 일반적인 위상 공간에서 정의되는 실수 값 함수에서도 성립한다.
* (와 은 실수)
*
* (단, )
함수 가 에서 연속이고, 가 에서 연속일 때, 합성 함수 또한 에서 연속이다. 이는 위상 공간 사이의 사상에 대해 일반적으로 성립한다. 즉, 연속 사상의 전체는 합성 연산에 대해 닫혀 있다.

2. 1. 위상 공간에서의 연속 함수

점 $x$ 에서의 연속: 임의의 $f(x)$ 의 근방 ''V''에 대하여, $f(U)\subseteq V$ 인 $x$ 의 근방 ''U''가 존재한다.

위상 공간

X

및

Y

사이의 함수

f\colon X\to Y

및 점

x\in X

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는

f

를 '''점

x

에서 연속'''(continuous at the point

x

^영어)이라고 한다.

임의의 $f(x)$ 의 근방 $V\ni f(x)$ 에 대하여, $f(U)\subseteq V$ 인 $x$ 의 근방 $U\ni x$ 가 존재한다.
임의의 그물 $x_\alpha\in X$ 에 대하여, 만약 $x_\alpha\to x$ 라면 $f(x_\alpha)\to f(x)$ 이다.
$\lim_{x'\to x}f(x')=f(x)$ . 여기서 $\lim_{x'\to x}$ 은 함수의 극한이다.

위상 공간

X

및

Y

사이의 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 '''연속 함수'''라고 한다.

임의의 열린집합 $U\subseteq Y$ 에 대하여, 원상 $f^{-1}(U)\subseteq X$ 는 열린집합이다.
임의의 닫힌집합 $C\subseteq Y$ 에 대하여, 원상 $f^{-1}(C)\subseteq X$ 는 닫힌집합이다.
$f$ 는 $X$ 의 모든 점에서 연속이다.
임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, 항상 $f(\operatorname{cl}(A))\subseteq\operatorname{cl}(f(A))$ 이다. 여기서 $\operatorname{cl}$ 은 폐포를 일컫는다.
임의의 부분 집합 $B\subseteq Y$ 에 대하여, 항상 $\operatorname{cl}(f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}B)$ 이다.

위상 공간

X

및

Y

사이의 함수

f\colon X\to Y

가 다음 조건을 만족시킨다면,

f

를 '''점렬 연속 함수'''(點列連續函數, sequentially continuous function^영어)라고 한다.

임의의 점렬 $x_i\in X$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $x_i\to x$ 라면 $f(x_i)\to f(x)$ 이다.

점 ''c''의 근방은 ''c''에서 어떤 고정된 거리 이내의 모든 점을 최소한 포함하는 집합이다. 직관적으로, 함수는 점 ''c''의 근방에 대한 ''f''의 치역이 ''c'' 주변 근방의 폭이 0으로 줄어들면서 단일 점

f(c)

로 수렴하면 점 ''c''에서 연속이다. 더 정확하게는, 함수 ''f''가 정의역의 점 ''c''에서 연속이라는 것은, 임의의 근방

N_1(f(c))

에 대해

x\in N_2(c)

일 때마다

f(x) \in N_1(f(c))

가 되도록 하는 정의역 내의 근방

N_2(c)

가 존재한다는 것이다.

근방은 모든 위상 공간에서 정의되므로, 이 연속 함수 정의는 실수 함수뿐만 아니라 정의역과 공역이 위상 공간일 때도 적용되며, 따라서 가장 일반적인 정의이다. 따라서 함수는 정의역의 모든 고립점에서 자동으로 연속이다. 예를 들어, 정수에서의 모든 실함수는 연속이다.

위상 공간 간의 함수의 연속성은, 일반적으로 거리 공간의 경우처럼 공식적인 거리 개념이 없는, 더욱 추상적인 연속성의 개념이다. 위상 공간은 집합 ''X''와 ''X''에 대한 위상으로 구성되는데, 여기서 위상은 부분 집합의 집합으로, 그들의 합집합과 교집합에 관하여 몇 가지 조건을 만족하며, 이는 거리 공간의 열린 공의 성질을 일반화하는 동시에 주어진 점의 근방에 대해 이야기할 수 있도록 한다. 위상의 원소는 ''X''의 열린 집합 (위상에 관하여)이라고 불린다.

두 위상 공간 ''X''와 ''Y'' 사이의 함수

f : X \to Y

는 모든 열린 집합

V \subseteq Y

에 대해, 역상

f^{-1}(V) = \{x \in X \; | \; f(x) \in V \}

가 ''X''의 열린 부분 집합이면 연속이다. 즉, ''f''는 집합 ''X''와 ''Y'' 사이의 함수이지만 (위상

T_X

의 원소에 대한 함수가 아님), ''f''의 연속성은 ''X''와 ''Y''에 사용된 위상에 따라 달라진다.

이것은 ''Y''의 닫힌 집합 (열린 부분 집합의 여집합)의 원상이 ''X''에서 닫힌 집합이라는 조건과 동치이다.

극단적인 예로, 집합 ''X''에 이산 위상 (모든 부분 집합이 열린 집합)이 주어지면, 임의의 위상 공간 ''T''로의 모든 함수

f : X \to T

는 연속이다. 반면에 ''X''에 비이산 위상 (열린 부분 집합이 공집합과 ''X''뿐)이 주어지고 공간 ''T''가 최소한 T₀이면, 유일한 연속 함수는 상수 함수뿐이다. 반대로, 공역이 비이산 위상인 모든 함수는 연속이다.

(ε, δ)-정의의 근방 언어로의 번역은 한 점에서 연속성에 대한 다음 정의로 이어진다.

함수

f : X \to Y

가 점

x \in X

에서 연속일 필요충분조건은

Y

에서

f(x)

의 모든 근방

V

에 대해

f(U) \subseteq V

를 만족하는

x

의 근방

U

가 존재하는 것이다.

이 정의는 근방을 열린 근방으로 제한한 경우와 동등하며, 역상을 이미지 대신 사용하여 여러 방식으로 다시 진술할 수 있다.

또한, 근방을 포함하는 모든 집합도 근방이고

f^{-1}(V)

는

f(U) \subseteq V

를 만족하는

X

의 가장 큰 부분 집합

U

이므로 이 정의는 다음과 같이 단순화될 수 있다.

함수

f : X \to Y

가 점

x\in X

에서 연속일 필요충분조건은

Y

에서

f(x)

의 모든 근방

V

에 대해

f^{-1}(V)

가

x

의 근방인 것이다.

열린 집합은 모든 점의 근방인 집합이므로, 함수

f : X \to Y

가

X

의 모든 점에서 연속일 필요충분조건은 연속 함수인 것이다.

만약 ''X''와 ''Y''가 거리 공간이면, 모든 근방 대신 ''x''와 ''f''(''x'')를 중심으로 하는 열린 공의 근방계를 고려하는 것이 동등하다. 이렇게 하면 위에서 언급한 거리 공간의 맥락에서 연속성의

\varepsilon-\delta

정의가 다시 나타난다. 일반적으로 위상 공간에서는 근접성이나 거리라는 개념이 없다. 그러나 대상 공간이 하우스도르프 공간이면, ''x''가 ''a''에 접근할 때 ''f''의 극한이 ''f''(''a'')일 필요충분조건은 여전히 ''f''가 ''a''에서 연속이라는 것이다. 고립된 점에서는 모든 함수가 연속이다.

x \in X

가 주어지면, 사상

f : X \to Y

는

\mathcal{B}

가

X

에서

x

로 수렴하는

X

상의 필터이고, 이를

\mathcal{B} \to x

로 표현하면, 필연적으로

f(\mathcal{B}) \to f(x)

in

Y

일 때,

x

에서 연속이다.

만약

\mathcal{N}(x)

가

x

에서의 근방 필터를 나타내면

f : X \to Y

는

x

에서

f(\mathcal{N}(x)) \to f(x)

in

Y

일 필요충분조건으로 연속이다. 더욱이, 이것은

f(\mathcal{N}(x))

의 준 필터가

Y

에서

f(x)

의 근방 필터에 대한 필터 기저일 필요충분조건으로 일어난다.

거리 공간 사이의 사상의 연속성은 근방을 사용하여 거리에 명시적으로 의존하지 않고 나타낼 수 있었다. 이것을 위상이 정하는 근방계에 적용함으로써, 일반적인 위상 공간

(X, \mathcal{O}_X)

와

(Y, \mathcal{O}_Y)

사이의 사상

f: X \to Y

에 대해

a \in X

에서의 연속성은,

:

\forall V \in \mathcal N (f(a))  \; \bigl[ f^{-1}(V) \in \mathcal N(a) \bigr]

로 정의된다. 이는 거리 공간일 때와 마찬가지로

:

\forall V \in \mathcal N (f(a)) \; \exists W \in \mathcal N(a) \; \bigl[ f(W) \subset V \bigr]

혹은

:

\forall V \in \mathcal N (f(a)) \; \exists W \in \mathcal N(a) \; \bigl[ W \subset f^{-1}(V) \bigr]

로 써도 같다. 사상

f

가

X

의 모든 점에서 연속이라면,

f

를 연속 사상이라고 한다.

연속 사상은 근방계 이외의 위상적 구조를 사용하여 정의할 수도 있다. 위상 공간

(X, \mathcal{O}_X)

와

(Y, \mathcal{O}_Y)

사이의 사상

f: X \to Y

에 대해, 다음 3 조건은 서로 동치이다.

$Y$ 의 임의의 열린 집합 $O$ 에 대해, 그 역상 $f^{-1}(O)$ 가 $X$ 의 열린 집합이다.
$Y$ 의 임의의 닫힌 집합 $F$ 에 대해, 그 역상 $f^{-1}(F)$ 가 $X$ 의 닫힌 집합이다.
$X$ 의 임의의 점 $x$ 에 대해, $f(x)$ 의 임의의 근방 $V$ 의 역상 $f^{-1}(V)$ 가 $x$ 의 근방이다.

이로부터, 열린 집합이나 닫힌 집합을 사용하여 연속 사상을 정의할 수도 있다. 특히, 위상을 열린 집합에 의해 정의하는 방식이 많은 것에 따라, 열린 집합을 사용한 정의가 채택되는 경우가 많다. 그 외에, 폐포 작용소

\operatorname{cl}

나 내부 작용소

\operatorname{int}

도 위상을 정하지만, 다음 조건도 연속성과 동치이다.

$X$ 의 임의의 부분 집합 $A$ 에 대해, $f(\operatorname{cl}_X(A)) \subset \operatorname{cl}_Y(f(A))$ 이다.
$Y$ 의 임의의 부분 집합 $B$ 에 대해, $\operatorname{cl}_X(f^{-1}(B)) \subset f^{-1}(\operatorname{cl}_Y(B))$ 이다.
$Y$ 의 임의의 부분 집합 $B$ 에 대해, $f^{-1}(\operatorname{int}_Y(B)) \subset \operatorname{int}_X(f^{-1}(B))$ 이다.

이 문서의 서두에서는 "(점을) 한없이 접근시킨다"라는 비유를 사용하여, 연속 함수를 극한을 보존하는 사상이라고 설명했다. 거리 공간에서 점의 극한을 엄밀하게 논의하기 위해서는 ε-N 논법으로 정의되는 수열의 극한이 자주 사용된다. 그러나 이것은 일반적인 위상 공간에 대해 연속성을 특징짓기에는 (단순히 ε-N 논법의

\varepsilon

-근방을 일반 근방으로 바꿔 쓰는 것만으로는) 불충분하며, 극한의 개념을 점열보다 넓은 개념으로 확장할 필요가 있다.

"수열의 극한을 보존하는" 사상은 '''점열 연속'''(sequentially continuous)이라고 불린다. 즉, 사상

f: X \to Y

가 점열 연속이라는 것은,

X

내의 점열

(x_n)

이 극한점

a

에 수렴하면 상의 수열

(f(x_n))

이

f(a)

에 수렴하는 것이다.

임의의 연속 사상은 점열 연속이다. 게다가,

X

가 제1 가산 공간의 몫 위상 공간이라면, 그 역도 성립하여 임의의 점열 연속 사상은 연속이며, 이러한 공간은 열형 공간이라고 불린다. 특히, 임의의 거리 공간은 자연수

N

에 대해

\{ \frac{N}{n} \}

-근방의 전체가 기본 근방계를 이루므로, 제1 가산 공리를 만족하고 열형 공간이다.

열형 공간이 아닌 위상 공간에서는 점열 연속성이 연속성보다 진정으로 약하다. 그러한 공간에서도 극한에 의해 연속성을 다룰 수 있도록 하기 위해 점열의 개념을 확장한 것이 '''유향점족'''(유향 점열, 넷)이다. 이는 가산한 전순서 집합인 자연수 '''N''' 대신에, 적당한 유향 집합

\Lambda

를 첨자 집합으로 하는 점의 족이다. 유향점족

(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}

가

a

에 수렴한다는 것은,

a

의 임의의 근방

V

에 대해서도, 적당한

\lambda_0 \in \Lambda

가 존재하여,

\lambda_0 \le \lambda

를 만족하는 모든

\lambda \in \Lambda

에 대해

x_\lambda \in V

인 것으로 정의된다. 특히, 하우스도르프 공간에서는 수렴하는 유향점족의 극한은 단 한 점이다.

이 유향점족의 극한을 사용함으로써, 사상의 연속성을 나타낼 수 있게 된다. 왜냐하면,

a \in X

에 수렴하는 임의의 유향점족

(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}

에 대해

(f(x_\lambda))_{\lambda \in \Lambda}

가 반드시

f(a)

에 수렴하는 것이,

a

에서

f: X \to Y

가 연속이기 위한 필요충분 조건이 되기 때문이다. 이로 인해, 연속 사상을 "유향점족의 극한을 보존하는" 사상으로 정의할 수 있다.

2. 2. 거리 공간에서의 연속 함수

두 거리 공간

(X,d_X)

와

(Y,d_Y)

사이의 함수

f\colon X\to Y

및 점

x\in X

에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[16]

$f$ 는 $x$ 에서 연속이다.
임의의 양의 실수 $\epsilon>0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $\delta_\epsilon>0$ 이 존재한다.
임의의 $x'\in X$ 에 대하여, 만약 $d_X(x,x')<\delta_\epsilon$ 라면, $d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon$ 이다.
$f$ 는 $x$ 에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬 $x_i\in X$ 에 대하여, 만약 $x_i\to x$ 라면 $f(x_i)\to f(x)$ 이다.

이는 ε-δ 논법으로 표현되는 연속성의 정의이며, 점렬 연속성과 동치이다.

더 직관적으로 설명하자면,

f(x)

값들을

f\left(x_0\right)

주변의 어떤 작은 근방 안에 머물도록 하고 싶다면,

x_0

주변의

x

값에 대해 충분히 작은 근방을 선택해야 한다. 만약

f(x_0)

근방이 아무리 작더라도 그렇게 할 수 있다면,

f

는

x_0

에서 연속이라고 할 수 있다.

거리 공간 사이에서, 모든 립시츠 연속 함수는 균등 연속 함수이며, 따라서 연속 함수이다.

--정의의 예시: 에서 인 모든 값은 에 대한 정의의 조건을 만족시킨다.

거리 공간 사이의 함수가 연속적인 점들의 집합은

G_{\delta}

집합이다.

이러한 연속성의 개념은 예를 들어 함수 해석학에 적용된다. 이 분야의 핵심 내용은 노름 공간

V

와

W

사이의 선형 연산자

T : V \to W

(노름이 갖춰진 벡터 공간,

\|x\|

로 표기)는 유계인 경우에만 연속적이라는 것이다. 즉, 모든

x \in V

에 대해

\|T(x)\| \leq K \|x\|

가 되는 상수

K

가 존재한다.

2. 3. 실수값 연속 함수

임의의 위상 공간

X

위의 두 연속 함수

:

f,g\colon X\to\mathbb R

에 대하여, 다음이 성립한다.

$f + g\colon X\to\mathbb R$ 는 연속 함수이다.
$fg\colon X\to\mathbb R$ 는 연속 함수이다.
상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 $g$ 가 임의의 실수 $r$ 라면, $rf\colon X\to\mathbb R$ 는 연속 함수이다. 특히, $r=-1$ 인 경우 $-f\colon X\to\mathbb R$ 는 연속 함수이다.
만약 모든 $x\in X$ 에 대하여 $f(x)\ne0$ 이라면, $1/f$ 는 연속 함수이다.

주어진 함수의 연속성을 확인하는 것은 주어진 함수의 구성 요소에 대한 위의 정의 속성 중 하나를 확인하여 단순화할 수 있다. 어떤 영역에서 연속인 두 함수의 합이 이 영역에서도 연속이라는 것을 증명하는 것은 간단하다.

f, g \colon D \to \R

일때,

연속 함수의 합

s = f + g

(

s(x) = f(x) + g(x)

로 정의, 모든

x\in D

에 대해)는

D

에서 연속이다.

이는 연속 함수의 곱에도 적용된다.

p = f \cdot g

(

p(x) = f(x) \cdot g(x)

로 정의, 모든

x \in D

에 대해)는

D

에서 연속이다.

위의 연속성 유지와 상수 함수의 연속성, 그리고 항등 함수

I(x) = x

on

\R

을 결합하면, 다음과 같은 모든 다항 함수 on

\R

의 연속성에 도달한다.

:

f(x) = x^3 + x^2 - 5 x + 3

(오른쪽 그림).

마찬가지로, 연속 함수의 역수

:

r = 1/f

(

r(x) = 1/f(x)

로 정의,

f(x) \neq 0

인 모든

x \in D

에 대해)는

D\setminus \{x : f(x) = 0\}

에서 연속이다.

이는

g

의 근을 제외하고, 연속 함수의 몫

:

q = f / g

(

q(x) = f(x)/g(x)

로 정의,

g(x) \neq 0

인 모든

x \in D

에 대해) 또한

D\setminus \{x:g(x) = 0\}

에서 연속임을 의미한다.

예를 들어, 함수 (그림)

:

y(x) = \frac{2x-1}{x+2}

는 모든 실수

x \neq -2

에 대해 정의되고 모든 그러한 점에서 연속이다. 따라서 연속 함수이다.

x = -2

에서의 연속성 문제는

x = -2

가

y

의 영역에 없으므로 발생하지 않는다. 모든

x \neq -2

에 대해

y(x)

와 일치하는 연속 함수

F : \R \to \R

은 없다.

사인 함수는 모든 실수에서 연속이므로, 싱크 함수

G(x) = \sin(x)/x,

는 모든 실수

x \neq 0

에 대해 정의되고 연속이다. 그러나 이전 예제와 달리, ''G''는 모든 실수에 대해 연속 함수로 확장될 수 있으며,

G(0)

의 값을 1로 정의하여, 이는

x

가 0에 접근할 때

G(x)

의 극한값이다. 즉,

:

G(0) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.

따라서 다음을 설정하여

:

G(x) =\begin{cases}\frac {\sin (x)}x & \text{ if }x \ne 0\\1 & \text{ if }x = 0,\end{cases}

싱크 함수는 모든 실수에 대해 연속 함수가 된다. 제거 가능한 특이점이라는 용어는 적절한 극한과 일치하도록 함수의 값을 (재)정의하여 특정 점에서 함수를 연속으로 만들 때 사용된다.

더 복잡한 연속 함수 구성은 함수 합성이다. 두 개의 연속 함수가 주어지면

:

g : D_g \subseteq \R \to R_g \subseteq \R \quad \text{ and } \quad f : D_f \subseteq \R \to R_f \subseteq D_g,

그들의 합성,

c = g \circ f : D_f \to \R

로 표시되며,

c(x) = g(f(x)),

로 정의된다. 이 함수는 연속이다.

이 구성을 통해 예를 들어,

:

e^{\sin(\ln x)}

는 모든

x > 0

에 대해 연속이라고 말할 수 있다.

2. 4. 실수 위의 함수

구간

I\subset\mathbb R

및 위상 공간

Y

사이의 함수

f\colon I\to Y

및 실수

r\in I

에 대하여, 다음을 정의한다.

만약 $\lim_{x\to r^+}f(x)=f(r)$ 이라면 $f$ 는 $r$ 에서 '''우연속'''(right-continuous^영어)이다.
만약 $\lim_{x\to r^-}f(x)=f(r)$ 이라면 $f$ 는 $r$ 에서 '''좌연속'''(left-continuous^영어)이다.

실수 구간

I\subset\mathbb R

으로부터 위상 공간

Y

로 가는 함수

f\colon I\to Y

및 임의의 실수

r\in I

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$f$ 는 $r$ 에서 연속이다.
$f$ 는 $r$ 에서 좌연속이며 우연속이다.

3. 성질

위상 공간 $X$ , $Y$ , $Z$ 와 연속 함수 $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to Z$ 가 주어졌을 때, 합성 함수 $g\circ f\colon X\to Z$ 는 연속 함수이다.

연속 전단사 함수 $f\colon X\to Y$ 의 역함수 $f^{-1}\colon Y\to X$ 는 일반적으로 연속 함수가 아니다. 그러나 $X$ 가 콤팩트 공간이고 $Y$ 가 하우스도르프 공간이라면, $f^{-1}$ 는 연속 함수가 된다. 이는 닫힌 사상과 동치이다.

연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$X$ 가 콤팩트 공간이면, $f(X)$ 도 콤팩트 공간이다.
$X$ 가 연결 공간이면, $f(X)$ 도 연결 공간이다.
$X$ 가 경로 연결 공간이면, $f(X)$ 도 경로 연결 공간이다.

두 위상 공간

X

,

Y

사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다.

X

가 제1 가산 공간이라면, 연속 함수와 점렬 연속 함수는 서로 동치이다.^[9]

3. 1. 균등 공간 사이의 연속 함수

균등 공간 사이에서, 모든 균등 연속 함수는 연속 함수이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않지만, 정의역이 콤팩트 균등 공간인 경우, 연속성과 균등 연속성은 동치이다 (하이네-칸토어 정리).^[14]

4. 예

실수선에 표준적인 위상을 정의했을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.^[7]

모든 다항식 $\mathbb R\to\mathbb R$
지수 함수 $\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R$
사인 $\sin\colon\mathbb R\to\mathbb R$
코사인 $\cos\colon\mathbb R\to\mathbb R$
절댓값 $|\cdot|\colon\mathbb R\to\mathbb R$

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

부호 함수 $\operatorname{sgn}\colon x\mapsto\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}$ ^[7]

5. 역사

입실론-델타 연속성 정의의 한 형태는 1817년 베르나르트 볼차노에 의해 처음 제시되었다.^[1] 오귀스탱 루이 코시는 $y = f(x)$ 의 연속성을 다음과 같이 정의했다: 독립 변수 ''x''의 무한히 작은 증가량 $\alpha$ 는 종속 변수 ''y''의 무한히 작은 변화 $f(x+\alpha)-f(x)$ 를 항상 발생시킨다. 코시는 무한히 작은 양을 가변량의 관점에서 정의했으며, 그의 연속성 정의는 오늘날 사용되는 무한소 정의와 매우 유사하다(미소 연속성 참조). 형식적인 정의와 점별 연속성과 균등 연속성의 구분은 1830년대에 볼차노에 의해 처음 제시되었지만, 그 연구는 1930년대까지 출판되지 않았다. 에두아르트 하이네는 1872년에 균등 연속성의 최초의 출판된 정의를 제공했지만, 1854년 페터 구스타프 르죈 디리클레의 강의를 바탕으로 이러한 아이디어를 제시했다.^[6]

6. 관련 개념

점렬 연속 함수: 수열의 극한을 보존하는 함수이다. 즉, 정의역의 점렬이 극한점에 수렴하면, 그 점렬의 상(image)도 같은 점으로 수렴하는 함수이다. 모든 연속 함수는 점렬 연속 함수이며, 제1 가산 공간의 몫 위상 공간에서는 그 역도 성립한다.
균등 연속 함수: 연속성에서 δ가 x에 의존하지 않는 함수이다. 즉, 정의역 전체에서 동일한 정도로 연속적인 함수이다.
립시츠 연속 함수: 균등 연속 함수의 일종으로, 변화율이 제한된 함수이다. 즉, 두 점 사이의 거리가 일정 비율 이상으로 증가하지 않는 함수이다.
반연속 함수: 한쪽 극한만 존재하는 함수이다.
절대 연속 함수: 르베그 적분과 관련된 연속 함수의 일종이다.
위상 동형 사상: 역함수도 연속인 전단사 연속 함수이다. 위상 동형 사상은 두 위상 공간의 위상적 구조를 완전히 동일하게 보존한다.

참조

_[1] 웹사이트 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege http://dml.cz/handle[...] Haase
_[2] 간행물 Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass
_[3] 서적 A course in mathematical analysis Ginn
_[4] 서적 Cours d'analyse de l'École polytechnique https://books.google[...] Gauthier-Villars
_[5] 간행물 Defining continuity of real functions of real variables
_[6] 간행물 Bolzano and uniform continuity
_[7] 서적 Calculus https://books.google[...] SIAM
_[8] 웹사이트 Continuity and Discontinuity http://math.mit.edu/[...] 2016-09-02
_[9] 서적 Undergraduate analysis Springer-Verlag
_[10] 문서 Introduction to Real Analysis http://ramanujan.mat[...]
_[11] 문서 Introduction to Real Analysis http://ramanujan.mat[...]
_[12] 웹사이트 Elementary Calculus http://www.math.wisc[...]
_[13] 서적 Complex Variables and Applications McGraw Hill
_[14] 서적 Point set topology Dover Publications
_[15] 서적 Metric spaces https://books.google[...] Springer-Verlag
_[16] 서적 Calculus and Analysis in Euclidean Space https://books.google[...] Springer
_[17] 웹사이트 general topology - Continuity and interior https://math.stackex[...]
_[18] 서적 Non-Hausdorff Topology and Domain Theory: Selected Topics in Point-Set Topology Cambridge University Press
_[19] 서적 Continuous Lattices and Domains https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[20] 간행물 Quantales and continuity spaces
_[21] 간행물 All topologies come from generalized metrics
_[22] 간행물 Continuity spaces: Reconciling domains and metric spaces

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